Question

(理)抛物线y＝ax²＋bx在第一象限内与直线x＋y＝4相切．此抛物线与x轴所围成的图形的面积记为S．求使S达到最大值的a、b值，并求S_max．

Answer 1

答案：
解析：

(理)解：依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝－b/a，所以(1) 　　又直线x＋y＝4与抛物线y＝ax2＋bx相切，即它们有唯一的公共点， 　　由方程组 　　得ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判别式必须为0，即(b＋1)2＋16a＝0． 　　于是代入(1)式得： 　　，； 　　令(b)＝0；在b＞0时得唯一驻点b＝3，且当0＜b＜3时，(b)＞0；当b＞3时，(b)＜0．故在b＝3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a＝－1，b＝3时，S取得最大值，且．