Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，过双曲线左支上一点M作直线l与双曲线的渐近线l₁，l₂分别交于A，B两点．
（1）求渐近线l₁，l₂的方程；
（2）若，且，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆离心率，结合a，b，c的关系，可求a，b的比值，即可求得渐近线方程；
（2）设M（x，y），A（x₁，3x₁），B（x₂，-3x₂），利用向量的坐标表示得到点M的坐标与A，B坐标的关系式，再将M的坐标代入椭圆方程结合题中向量的数量积条件即可得出a，b的值，从而求得椭圆的方程．
解答：解：（1）∵=，得，∴渐近线l₁，l₂的方程为y=±3x；
（2）设M（x，y），A（x₁，3x₁），B（x₂，-3x₂），
=（x-x₁，y-3x₁），=（x-x₂，y+3x₂），
∴y-3x₁=3y+9x₂
∴y=（-3x₂-x₁），∵，
∴4b²=-12x₁x₂，即b²=-3x₁x₂，
∵=8，
∴x₁x₂+3x₁（-3x₂）=8，x₁x₂=-1，
∴b²=3，a²=27，
∴椭圆的方程为；．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．