Question

【题目】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是菱形，，，点P，Q，M分别是线段SD，PD，AP的中点，点N是线段SB上靠近B的四等分点．

（1）若R在直线MQ上，求证：平面ABCD；

（2）若平面ABCD，求平面SAD与平面SBC所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理、面面平行的性质定理即可证出.

（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，不妨设，求出平面SBC的一个法向量与平面SAD的一个法向量，利用向量的数量积即可求解.

（1）依题意，，故，

而平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD；

因为，故，

而平面ABCD，平面ABCD，故平面ABCD；

因为，故平面平面ABCD；

因为平面QMN，故平面ABCD；

（2）如图，

以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，不妨设，

则，，，，

∴，，

设平面SBC的一个法向量为，则，

取，可得，

易知平面SAD的一个法向量，

设平面SAD与平面SBC所成锐二面角为，则，

∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为.