Question

已知函数f(x)=.

(1)判定其奇偶性；

(2)指出该函数在区间(0，1)上的单调性并证明；

(3)利用(1)(2)的结论，指出该函数在(-1，0)上的增减性.

Answer 1

思路分析：(1)(2)利用定义法判断函数的奇偶性和单调性.(3)利用奇函数在y轴两侧对称区间内的单调性相同来判断该函数在(-1，0)上的增减性.

解：(1)f(x)的定义域为R，

f(-x)==-f(x)，

∴f(x)是奇函数.

(2)设0＜x₁＜x₂＜1，则

f(x₂)-f(x₁)=,

∵0＜x₁＜x₂＜1，∴x₂-x₁＞0,1-x₁x₂＞0,1+x₁²＞0,1+x₂²＞0.

∴f(x₂)＞f(x₁)，

即f(x₁)＜f(x₂).

因此f(x)在(0，1)上是增函数.

(3)∵f(x)为奇函数，又在(0，1)上为增函数，

∴f(x)在(-1，0)上也是增函数.