Question

如图，正方体ABCD-A′B′C′D′中，M为BC边的中点，点P在底面A′B′C′D′和侧面CDD′C′上运动并且使∠MAC′=∠PAC′，那么点P的轨迹是（　　）

A．两段圆弧

B．两段椭圆弧

C．两段双曲线弧

D．两段抛物线弧

Answer 1

分析：以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，可求得A，C′，M等点的坐标，从而可求得cos∠MAC′，设设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，继而可求得cosθ，比较θ与∠MAC′的大小，利用“正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线定理”即可得到答案．

解答：解：P点的轨迹实际是一个正圆锥面和两个平面的交线；这个正圆锥面的中心轴即为AC′，顶点为A，顶角的一半即为∠MAC′；
以A点为坐标原点建立空间直角坐标系，则A（0，0，1），C′（1，1，0），M（

1

2

，1，1），
∴

AC′

=（1，1，-1），

AM

=（

1

2

，1，0），
∵cos∠MAC′=

1× 1 2 +1×1

3 × ( 1 2 )2+1

=

3

5

=

15

5

=

135

15

，
设AC′与底面A′B′C′D′所成的角为θ，则cosθ=

|A′C′|

|AC′|

=

2

3

=

6

3

=

150

15

＞

135

15

，
∴θ＜∠MAC′，
∴该正圆锥面和底面A′B′C′D′的交线是双曲线弧；
同理可知，P点在平面CDD′C′的交线是双曲线弧，
故选C．

点评：本题考查正圆锥曲线被与中心轴成θ的平面所截曲线定理，考查分析运算能力，属于难题．