Question

（2013•怀化三模）实数a∈[0，3]，b∈[0，2]，则关于x的方程x²+2ax+b²=0有实根的概率是

2

3

．

Answer 1

分析：首先分析一元二次方程有实根的条件，得到a²≥b²．本题是一个几何概型，试验的全部结束所构成的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，满足条件的构成事件A的区域为{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，根据概率等于面积之比，得到概率．

解答：解：方程有实根时，△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²．记方程x²+2ax+b²=0有实根的事件为A．
设点M的坐标为（a，b），由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，所以，所有的点M对构成坐标平面上一个区域（如图中的矩形OABC），即所有的基本事件构成坐标平面上的区域OABC，其面积为2×3=6．
由于a在[0，3]上随机抽取，b在[0，2]上随机抽取，
所以，组成区域OABC的所有基本事件是等可能性的．
又由于满足条件0≤a≤3，且0≤b≤2，且a²≥b²，即a≥b的平面区域如图中阴影部分所示，其面积为

1

2

×（1+3）×2=4，
所以，事件A组成平面区域的面积为4，所以P（A）=

4

6

=

2

3

．
所以，方程x²+2ax+b²=0有实根的概率为

2

3

．
故答案为：

2

3

．

点评：古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到．