题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）试证明：对任意n∈N₊，不等式 $数学公式$ ＜ $数学公式$ 恒成立．

（1）解：求导函数可得 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
令g（x）=x²+lnx-1，x∈（0，+∞），则g′（x）=2x+ $\text{[math]}$ ＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增
∵x=1时，f′（x）=0，∴x=1是f′（x）=0的唯一解
∵当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0
∴函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
（2）解：由（1）知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减
①当0＜2m≤1时，即0＜m≤ $\text{[math]}$ 时，f（x）在[m，2m]上单调递增
∴f（x）_max=f（2m）= $\text{[math]}$
②当m≥1时，f（x）在[m，2m]上单调递减
∴f（x）_max=f（m）= $\text{[math]}$
③当m＜1＜2m，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）_max=f（1）=-1
（3）证明：由（1）知，当x∈（0，+∞）时，f（x）_max=f（1）=-1
∴在（0，+∞）上恒有 $\text{[math]}$ -1，当且仅当x=1时，等号成立
∴对任意的x∈（0，+∞）恒有lnx≤x（x-1）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴对任意n∈N₊，不等式 $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 恒成立．
分析：（1）求导函数，确定x=1是f′（x）=0的唯一解，进而利用当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0，即可得到函数的单调区间；
（2）利用函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，对m进行分类讨论，确定函数的单调性，即可求得f（x）在[m，2m]上的最大值；
（3）证明在（0，+∞）上恒有 $\text{[math]}$ -1，当且仅当x=1时，等号成立，即可证得结论．
点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查不等式的证明，解题的关键是确定函数的单调性，属于中档题．