Question

函数对任意的，都有，并且时，恒有.

(Ⅰ)求证：在上是增函数；

(Ⅱ)若，解不等式.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)见解析； (Ⅱ)a∈(－3,2)．   

【解析】(1)本题关于是利用m,n的取值的任意性，根据定义进行证明.

设,则.

(2)解本小题的关键是求出f(x)=2，对应的x的值.

由于f(3)=4,f(1+2)=f(1)+f(2)-1=f(1)+f(1)+f(1)-2=4,所以f(1)=2,所以,问题到此基本得以解决.

(Ⅰ)证明　设x1<x2，∴x2－x1>0，

当x>0时，f(x)>1，∴f(x2－x1)>1. f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，

∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0⇒f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上为增函数．

 (Ⅱ)解　∵m，n∈R，不妨设m＝n＝1，∴f(1＋1)＝f(1)＋f(1)－1⇒f(2)＝2f(1)－1，                    f(3)＝4⇒f(2＋1)＝4⇒f(2)＋f(1)－1＝4⇒3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2，f(2)＝2×2－1＝3，

∴f(a²＋a－5)<2＝f(1)，∵f(x)在R上为增函数，∴a²＋a－5<1⇒－3<a<2，即

a∈(－3,2)．