Question

已知数列{a_n}满足a₁＞0，a_n＋1＝2－|a_n|，n∈N^*．

（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值；

（Ⅱ）是否存在a₁，使数列{a_n}为等差数列？若存在，求出所有这样的a₁；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵a₁＞0，∴a₂＝2－|a₁|＝2－a₁，a₃＝2－|a₂|＝2－|2－a₁|．

当0＜a₁≤2时，a₃＝2－(2－a₁)＝a₁，∴a＝(2－a₁)²，解得a₁＝1．

当a₁＞2时，a₃＝2－(a₁－2)＝4－a₁，∴a₁(4－a₁)＝(2－a₁)²，解得a₁＝2－（舍去）或a₁＝2＋．

综上可得a₁＝1或a₁＝2＋．

（Ⅱ）假设这样的等差数列存在，则

由2a₂＝a₁＋a₃，得2(2－a₁)＝a₁＋(2－|2－a₁|)，即|2－a₁|＝3a₁－2．

当a₁＞2时，a₁－2＝3a₁－2，解得a₁＝0，与a₁＞2矛盾；

当0＜a₁≤2时，2－a₁＝3a₁－2，解得a₁＝1，从而a_n＝1（n∈N^*），此时{a_n}是一个等差数列；

综上可知，当且仅当a₁＝1时，数列{a_n}为等差数列．