题目内容

已知数列{
an
λn
-(
3
λ
)n}是等差数列，公差为2，a1，=11，an+1=λan+bn．
（I）用λ表示bn；
（II）若
lim
n→∞
bn+1
bn
=4，且κ≥3，求λ的值；
（III）在（II）条件下，求数列{an}的前n项和．
（I）因为数列{
an
λn
-(
3
λ
)n}是等差数列，公差为2所以
an+1
λn+1
-
3n+1
λn+1
=
an
λn
-
3n
λn
+2?an+1=λ•an+3n+1+2λn+1-λ•3n
∴bn=3n+1+2λn+1-λ•3n=2λn+1+3n（3-λ）??
（II）又
lim
n→∞
bn+1
bn
=
lim
n→∞
2λn+2+3n+1(3-λ)
2λn+1+3n(3-λ)
当λ=3时，
lim
n→∞
bn+1
bn
═λ=3，
与已知矛盾，
∴λ≠3
当λ＞3时，
lim
n→∞
bn+1
bn
=
lim
n→∞
2λ+(3-λ)(
3
λ
)n+1
2+
3-λ
λ
(
3
λ
)n
=λ=4
∴λ=4
（III）由已知当λ=4时，
an
4n
=
3n
4n
=
11-3
4
+2(n-1)=2n?an=2n•4n+3n
令An=2×4+4×42+6×43++2n×4n=
8
9
+
6n-2
9
×4n+1Bn=3+32+33++3n=
3n+1
2
-
3
2

∴数列{an}的前n项和Sn=An+Bn=
8
9
+
6n-2
9
×4n+1+
3n+1
2
-
3
2
=-
11
18
+
3n+1
2
+
6n-2
9
×4n+1
练习册系列答案
相关题目
已知数列{an-n}是等比数列，且满足a1=2，an+1=3an-2n+1，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn．
（2011•韶关模拟）已知数列{an} (n∈N*)满足：a1=1，an+1-sin2θ•an=cos2θ•cos2nθ，其中θ∈(0，
π
2
)．
（1）当θ=
π
4
时，求{an}的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列{bn}中，bn=sin
πan
2
+cos
πan-1
4
(n∈N*，n≥2)，且b1=1．求证：对于?n∈N*，1≤bn≤
2
恒成立；
（3）对于θ∈(0，
π
2
)，设{an}的前n项和为Sn，试比较Sn+2与
4
sin22θ
的大小．
已知数列{an}(n∈N*)是等比数列，且an＞0，a1=2，a3=8，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
an
＜1；
（3）设bn=2log2an+1，求数列{bn}的前100项和．
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求dk；
（3）对（2）题中的dk，设A（1，5d1），B（2，5d2），动点M，N满足
MN
=
AB
，点N的轨迹是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，g（x）=lgx，动点M的轨迹是函数f（x）的图象，求f（x）．
（2013•松江区二模）已知数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，数列{
Sn
n
}是首项为0，公差为
1
2
的等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
4
15
•(-2)an(n∈N*)，对任意的正整数k，将集合{b2k-1，b2k，b2k+1}中的三个元素排成一个递增的等差数列，其公差为dk，求证：数列{dk}为等比数列；
（3）对（2）题中的dk，求集合{x|dk＜x＜dk+1，x∈Z}的元素个数．

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