Question

如图，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的底面边长的3，侧棱AA₁＝D是CB延长线上一点，且BD＝BC．

(Ⅰ)求证：直线BC₁∥平面AB₁D；

(Ⅱ)求二面角B₁－AD－B的大小；

(Ⅲ)求三棱锥C₁－ABB₁的体积．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：CD∥C1B1，又BD＝BC＝B1C1，∴四边形BDB1C1是平行四边形，∴BC1∥DB1． 　　又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，∴直线BC1∥平面AB1D．……5分 　　(Ⅱ)解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，∵B1B⊥平面ABD，∴B1E⊥AD， 　　∴∠B1EB是二面角B1－AD－B的平面角，∵BD＝BC＝AB，∴E是AD的中点， 　　在Rt△B1BE中，∴∠B1EB＝60°．即二面角B1－AD－B的大小为60°…………10分 　　(Ⅲ)解法一：过A作AF⊥BC于F，∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C， 　　∴AF⊥平面BB1C1C，且AF＝ 　　即三棱锥C1－ABB1的体积为…………15分 　　解法二：在三棱柱ABC－A1B1C1中， 　　即为三棱锥C1－ABB1的体积．