Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，an+1=2(1+

1

n

)2•an，(n∈N*)．
（1）若bn=

an

n2

，证明数列{b_n}是一个等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设cn=

2n

an

•

n

(n+1)

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）对已知的a_n+1和a_n的关系进行变形转化，并结合bn=

an

n2

，能推导出b_n+1=2b_n，由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（2）由数列{b_n}是等比数列，结合已知条件，能够求出数列{a_n}的通项公式．
（3）利用数列{a_n}的通项公式，由已知条件，先求出c_n，再利用裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：（1）证明：∵an+1=2

(n+1)2

n2

•an，
∴

an+1

(n+1)2

=2

an

n2

…．（2分）
∵bn=

an

n2

，
∴b_n+1=2b_n，即

bn+1

bn

=2…．（4分）
∴数列{b_n}是一个以2为公比的等比数列…．（6分）
（2）∵a₁=2，∴b₁=

2

12

=2，
∴bn=2•2n-1=2n…．（8分）
∴an=bn•n2=2n•n2…．（10分）
（3）∵an=2n•n2，cn=

2n

an

•

n

(n+1)

，
∴cn=

2n

2n•n2

•

n

(n+1)

=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

…．（12分）
∴Tn=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

(n+1)

=

n

n+1

…..（14分）

点评：本题考查数列是等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．