Question

在数列{a_n}中，已知a₁=-1，a_n+1=2a_n-n+1（n=1，2，3，…）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

an

2n

，Sn为数列{b_n}的前n项和，求

lim

n→∞

(Sn+n)；
（3）若总存在正自然数n，使S_n+n-2b_n＜m成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将题设中的条件a_n+1=2a_n-n+1变形为a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），从而可得数列{a_n-n}是等比数列，进而可得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）结论可求出b_n，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后再求极限．
（3）构建函数f(x)=

3x+2

2x

，用导数的方法可知f（x）在[1，+∞）单调递减，从而S_n+n-2b_n单调递增．要使总存在正自然数n，S_n+n-2b_n＜m成立，只需求 S_n+n-2b_n的最大值，从而得解．

解答：解：（1）a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），∴

an+1-(n+1)

an-n

=2，
又a₁-1=-2，∴数列{a_n-n}是以2为公比、以-2为首项的等比数列，
∴a_n-n=（-2）•2^n-1=-2ⁿ，∴a_n=n-2ⁿ
（2）由（1）得：bn=

an

2n

=

n

2n

-1，∴Sn=b1+b2+…+bn=(

1

2

-1)+(

2

22

-1)+…+(

n

2n

-1)=(

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

)-n，∴Sn+n=

1

2

+

2

22

+…+

n

2n

，
令Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，则

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
两式相减得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

∴Tn=2-

n+2

2n

，即Sn+n=2-

n+2

2n

，∴

lim

n→∞

(Sn+n)=2．
（3）∵Sn+n-2bn=2-

n+2

2n

-2(

n

2n

-1)=4-

3n+2

2n

＜4
令f(x)=

3x+2

2x

，则f′(x)=

[(3-(3x+2)ln2]

2x

，
当x≥1时，f′(x)=

[(3-(3x+2)ln2]

2x

≤

3-5ln2

2

=

1

2

ln

e3

32

＜0，
∴f（x）在[1，+∞）单调递减，∴S_n+n-2b_n单调递增，∴Sn+n-2bn≥S1+1-2b1=

3

2

，
∴

3

2

≤Sn+n-2bn＜4，∴若总存在正自然数n，使S_n+n-2b_n＜m成立，则m＞

3

2

．

点评：本题意数列递推式为载体，考查数列的通项及求和，是一道综合性较强的题，要观察分析，判断，选择合适的方法，如（1）的求解要从证明的结论中找变形方向；（2）中的求解要边变形边观察，化整为零，分块求解，这对答题者分析判断的能力要求较高；（3）则利用函数的思想，研究其单调性