Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且Sn=

3

2

(an-1)(n∈N+)．
（1）求a₁的值，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=

an

(an+1)(an+1+1)

(n∈N+)，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：Tn+

1

6an+2

(n∈N+)为定值．

Answer 1

分析：（1）利用公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由Sn=

3

2

(an-1)(n∈N+)，能求出a₁的值，并能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由a_n=3ⁿ，推导出bn=

1

2

(

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)，由此利用裂项求和法能够证明：Tn+

1

6an+2

(n∈N+)为定值．

解答：解：（1）∵Sn=

3

2

(an-1)(n∈N+)，
∴当n=1时，a1=S1=

3

2

(a1-1)，
解得a₁=3．
a_n=S_n-S_n-1=

3

2

(an-1)-

3

2

(an-1-1)，
整理，得a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是首项为3，公比为3的等比数列，
∴a_n=3ⁿ．
（2）∵a_n=3ⁿ，
∴bn=

an

(an+1)(an+1+1)

=

3n

(3n+1)(3n+1+1)

=

1

2

(

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)
∴Tn=

1

2

(

1

3+1

-

1

32+1

+

1

32+1

-

1

33+1

+…+

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)
=

1

2

(

1

3+1

-

1

3n+1+1

)=

1

8

-

1

6×3n+2

，
∴Tn+

1

6an+2

=

1

8

-

1

6×3n+2

+

1

6×3n+2

=

1

8

，
∴Tn+

1

6an+2

(n∈N+)为定值．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要注意构造法和裂项求和法的合理运用．