Question

（2013•自贡一模）已知函数f(x)=alnx+

a+1

2

x2+1．
（Ⅰ）当a=-

1

2

时，求f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定f（x）的定义域，求导数，确定f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值只可能在f(1)，f(

1

e

)，f(e)取到，即可求得结论；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可确定函数f（x）的单调性．

解答：解：（Ⅰ）当a=-

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

x2

4

+1，
∴f′(x)=

-1

2x

+

x

2

=

x2-1

2x

．
∵f（x）的定义域为（0，+∞），∴由f'（x）=0得x=1．---------------------------（3分）
∴f（x）在区间[

1

e

，e]上的最值只可能在f(1)，f(

1

e

)，f(e)取到，
而f(1)=

5

4

，f(

1

e

)=

3

2

+

1

4e2

，f(e)=

1

2

+

e2

4

，
∴f(x)max=f(e)=

1

2

+

e2

4

，f(x)min=f(1)=

5

4

．---------------------------（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

(a+1)x2+a

x

，x∈(0，+∞)．
①当a+1≤0，即a≤-1时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；-------------（7分）
②当a≥0时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；----------------（8分）
③当-1＜a＜0时，由f'（x）＞0得x2＞

-a

a+1

，∴x＞

-a a+1

或x＜-

-a a+1

（舍去）
∴f（x）在(

-a a+1

，+∞)单调递增，在(0，

-a a+1

)上单调递减；--------------------（10分）
综上，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）单调递增；
当-1＜a＜0时，f（x）在(

-a a+1

，+∞)单调递增，在(0，

-a a+1

)上单调递减．
当a≤-1时，f（x）在（0，+∞）单调递减；-----------------------（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．