Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，且a_n+1-3a_n=3ⁿ，（n∈N^*），数列{b_n}满足b_n=3^-na_n．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）设，求满足不等式的所有正整数n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由b_n=3^-na_n得a_n=3ⁿb_n，则a_n+1=3ⁿ⁺¹b_n+1．由此入手，能够证明数列{b_n}是等差数列；
（2）因为数列{b_n}是首项为b₁=3^-1a₁=1，公差为等差数列，所以，a_n=3ⁿb_n=（n+2）×3^n-1．由此能手能够求出满足不等式的所有正整数n的值．
解答：（1）证明：由b_n=3^-na_n得a_n=3ⁿb_n，则a_n+1=3ⁿ⁺¹b_n+1．
代入a_n+1-3a_n=3ⁿ中，得3ⁿ⁺¹b_n+1-3ⁿ⁺¹b_n=3ⁿ，
即得．
所以数列{b_n}是等差数列．（6分）

（2）解：因为数列{b_n}是首项为b₁=3^-1a₁=1，公差为等差数列，
则，则a_n=3ⁿb_n=（n+2）×3^n-1．（8分）
从而有，
故．（11分）
则，
由，得．
即3＜3ⁿ＜127，得1＜n≤4．
故满足不等式的所有正整数n的值为2，3，4．（14分）
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解，合理地运用公式．