Question

【题目】知向量，，函数，若的图象上相邻两条对称轴的距离为，且图象过点.

（1）求表达式和的单调增区间；

（2）将函数的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），的单调增区间为，；（2）或.

【解析】

（1）由题意，求得，进而求得，，即可得到函数的解析式，求得其单调递增区间；

（2）根据三角函数的图象变换，得到函数，进而求得函数在区间上的值域为，要使得函数在区间上有且只有一个零点，只需函数的图象和直线有且只有一个交点，即可求得结论．

（1）∵，

∴，

∴函数的最小正周期为，

∴，

∵的图象过点，

∴.

∴，

∴．

由，，

得，，

∴函数的单调增区间为，．

（2）将函数的图象向右平移个单位，可得函数

的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．

∵，

∴，

∴，

∴函数在区间上的值域为，

∵函数在区间上有且只有一个零点，

∴函数的图象和直线有且只有一个公共点，

根据图象可知，或．

∴实数的取值范围为．