Question

已知函数f（x）=x（1-x）²．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）求实数a，b的值，使在区间[a，b]上的值域也为[a，b]；．
（3）是否存在区间[a，0]，使f（x）在区间[a，0]上的值域为[ka，0]，且使k的值最小？若存在，求出k的最小值及此时a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）对于三次函数：“f（x）=x（1-x）²．的极值问题利用其导数解决；
（2）三次函数的值域问题，往往转化为导数的问题，须针对最大值b与最小值a的取值情况进行讨论；
（3）对于存在性问题，先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在．

解答：解：（1）f（x）=x³-2x²+x，则f'（x）=3x²-4x+1（1分）
令f'（x）=0解得：x1=-1，x2=-

1

3

，（2分）

∴f（x）的极大值为f（-1）=0，极小值为f(-

1

3

)=-

4

27

（4分）
（2）若最大值b与最小值a均在端点处取得，则有

f(a)=a f(b)=b.

或

f(a)=b f(b)=a.

（5分）
①当

f(a)=a f(b)=b.

时，则a，b即为方程f（x）=x的解，解得x₁=0，x₂=-2．
当-2≤x≤0时，-2≤f（x）≤0，检验知符合题意（6分）
②当

f(a)=b f(b)=a.

时，则有

a3+2a2+a=b b3+2b2+b=a.

相减得：（a-b）[a²+（b+2）a+（b²+2b+2）]=0．
又a≠b，而方程a²+（b+2）a+（b²+2b+2）=0中△=(b+2)2-4(b2+2b+2)=-3(b+

2

3

)2-

8

3

＜0，方程无解，故此时a，b不存在．
（8分）
若最大值b在区间（a，b）内取得，则b必为f（x）的极大值0，但b=0时f（b）=b，矛盾．
若最小值a在区间（a，b）内取得，则a必为f（x）的极小值-

4

27

，但f（x）在区间[-

4

27

，+∞)上单调递增，必有f（a）=a，矛盾．
综上得：a=-2，b=0（10分）
（3）易知k＞0，f(-

4

3

)=-

4

27

．
若f（a）=ka，则a（1+a）²=ka即k=（1+a）²，而此时a≤-

4

3

或-

1

3

≤a＜0．
当-

1

3

≤a＜0时，k=(1+a)2∈[

4

9

，1)，此时k有最小值为

4

9

．
当a≤-

4

3

时，k=(1+a)2∈[

1

9

，+∞)，此时k有最小值

1

9

（12分）
若最小值ka在区间（a，0）内取得，则ka必为f（x）的极小值，即ka=-

4

27

，而此时-

4

3

＜a＜-

1

3

，∴

1

9

＜k＜

4

9

．
综上得：k的最小值为

1

9

，此时a=-

4

3

（14分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的极值，最值问题，以及存在性问题的解决方法，对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在．这是一种最常用也是最基本的方法．