Question

已知函数f（x）=2sin（2x-）．
（1）求f（x）的最小值及f（x）取到最小值时自变量x的集合；
（2）指出函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象经过哪些变换得到；
（3）当x∈[0，m]时，函数y=f（x）的值域为[-，2]，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=2sin（2x-），故 y_min=-2．此时，2x-=2kπ-，即x=kπ-，k∈Z，
即此时自变量x的集合是{x|x=kπ-，k∈Z}． …（3分）
（2）把y=sinx图象向右平移，得到函数y=sin（x-）的图象．
再把函数y=sin（x-）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，
得到函数y=sin（2x-）的图象．
最后再把函数y=sin（2x-）的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，
得到函数y=2sin（2x-）的图象． …（6分）
（3）∵当x∈[0，m]时，函数y=f（x）的值域为[-，2]，
又当x∈[0，m]时，有-≤2x-≤2m-，且y取到最大值2，f（0）=-，
所以2m-≥，故 m≥． …（8分）
又函数y=f（x）在[，]上是单调减函数，令2sin（2x-）=-，可得 x=．
所以m的取值范围是[，]．…（10分）
分析：（1）根据函数f（x）=2sin（2x-），可得 y_min=-2，此时2x-=2kπ-，从而求得f（x）取到最小值时自变量x的集合．
（2）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．
（3）由条件可得2m-≥，即 m≥．又函数y=f（x）在[，]上是单调减函数，令2sin（2x-）=-，解得 x=，由此可得m的取值范围．
点评：本题主要考查复合三角函数的单调性和最值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．