Question

【题目】已知数列{an}中，a1=2，a2=3，an＞0，且满足an+12﹣an=an+1+an2（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设 ，求数列{bn}的前n项和Tn；
（3）设 （λ为正偶数，n∈N*），是否存在确定λ的值，使得对任意n∈N* ， 有Cn+1＞Cn恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得， ，且an＞0，

∴an+1﹣an=1（n∈N*），且a2﹣a1=1．

∴数列{an}是以a1=2为首项，公差为1的等差数列，

∴an=n+1

（2）解：由（1）知 ，

设它的前n项和为Tn

∴Tn=221+322+…+（n+1）2n，

2Tn=222+323+…+（n+1）2n+1，

两式相减可得：

所以

（3）解：∵an=n+1，∴ ，

要使Cn+1＞Cn恒成立，

则 恒成立，

∴34n﹣λ2n+1＞0恒成立，

∴λ＜32n﹣1恒成立．

当且仅当n=1时，32n﹣1有最小值为3，∴λ＜3．又λ为正偶数，则λ=2．

即存在λ=2，使得对任意n∈N*，都有Cn+1＞Cn

【解析】（1）将条件化简可得an+1﹣an=1，再由等差数列的定义和通项公式，即可得到所求；（2）求得 ，再议数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和；（3）求得an=n+1， ，要使Cn+1＞Cn恒成立，运用作差法，再由参数分离，求得右边的最小值即可得到所求范围．
【考点精析】通过灵活运用数列的前n项和和数列的通项公式，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题．