Question

等轴双曲线的两个顶点分别为A₁、A₂，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点?,求证：

(1)NA₁N+NA₁N=180°；

(2)MA₁⊥A₂N，MA₂⊥A₁N.

Answer 1

证明:（１）不妨设等轴双曲线的方程为

-=１,

设直线MN的方程为x=b(b>a).

如图,易求得

N(b,),

∴tanNA₁x=.

tanNA₂x=.

∴tanNA₁x==tan().

又NA₁x，NA₂x均为锐角,

∴NA₁x=90°-NA₂x，

即NA₁x+NA₂x=90°.

根据对称性，∴NA₁M+NA₂M=180°.

（2）仿(1)可求得M(b，-).

∴kMA₁·k_A2N=·=-1

∴MA₁⊥A₂N.

同理可证MA₂⊥A₁N.