Question

等轴双曲线的两个顶点分别为A₁、A₂，垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点,求证：

(1)∠MA₁N＋∠MA₂N＝180°；

(2)MA₁⊥A₂N，MA₂⊥A₁N.

Answer 1

证明:(1)不妨设等轴双曲线的方程为

＝1,

设直线MN的方程为x=b(b＞a).

如上图,易求得

N(b,),

∴tan∠NA₁x＝＝,

tan∠NA₂x＝＝.

∴tan∠NA₁x＝＝cot∠NA₂x＝tan(－∠NA₂x).

又∠NA₁x，∠NA₂x均为锐角,

∴∠NA₁x＝90°－∠NA₂x，即∠NA₁x＋∠NA₂x＝90°.

根据对称性，∴∠NA₁M＋∠NA₂M＝180°.

(2)仿(1)可求得M(b，－).

∴k·k＝·＝－1.

∴MA₁⊥A₂N.同理可证MA₂⊥A₁N.

点评:利用对称性把要证等式转化为证明∠NA₂x＋∠NA₁x＝90°为本题证明的突破口，这体现了转化意识.