Question

11．祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于$\frac{4}{3}π×{b^2}a$．

Answer 1

分析 椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．

解答 解：椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积
V=2（V_圆柱-V_圆锥）=$2（{π×{b^2}×a-\frac{1}{3}π×{b^2}a}）=\frac{4}{3}π×{b^2}a$．
故答案为：$\frac{4}{3}π×{b^2}a$．

点评 本题考查祖暅原理、几何体的体积，考查转化思想，是基础题．