Question

如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2，

AD

=

DC

，

AE

=

1

2

EB

，若

BD

•

AC

=-

1

2

，则

CE

•

AB

=

-

4

3

．

Answer 1

分析：以BC的中点O为原点，建立如图所示直角坐标系，可得B（-1，0），C（1，0）．设A（0，m），从而算出向量

BD

、

AC

的坐标关于m的式子，由

BD

•

AC

=-

1

2

建立关于m的方程，解出m=2．由此算出

CE

、

AB

的坐标，从而可得

CE

•

AB

的值．

解答：解：以BC的中点O为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示．
则B（-1，0），C（1，0），
设A（0，m），由题意得D（

1

2

，

1

2

m），E（-

1

3

，

2

3

m），
∴

BD

=（

3

2

，

1

2

m），

AC

=（1，-m），
∵

BD

•

AC

=-

1

2

，
∴

3

2

×1+

1

2

m×（-m）=-

1

2

，解之得m=2（负值舍去）
由此可得E（-

1

3

，

4

3

），

CE

=（-

4

3

，

4

3

），

AB

=（-1，-2）
∴

CE

•

AB

=-

4

3

×（-1）+

4

3

×（-2）=-

4

3

．
故答案为：-

4

3

点评：本题给出等腰三角形的底面长，在已知两个向量的数量积的情况下求另外向量的数量积．着重考查了等腰三角形的性质、向量的数量积公式和向量的坐标运算等知识，属于中档题．