Question

盒子中装着标有数字1、2、3、4的卡片分别有1张、2张、3张、4张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片的最大数字，求：
（Ⅰ）取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；
（Ⅱ）随机变量ξ的概率分布和数学期望；
（Ⅲ）设取出的三张卡片上的数字之和为η，求P（η≥7）．

Answer 1

分析：（1）由题意知P=

C 1 2 C 1 3 + C 1 2 C 1 4 + C 1 3 C 1 4 + C 1 2 C 1 3 C 1 4

C 3 10

=

5

12

．
（2）由题意知ξξ的分布列为

由此可知Eξ=2×

1

120

+3×

19

120

+4×

100

120

=

153

40

．
（3）当η≤6时的概率为P1=

1+ C 1 2 C 1 3

C 3 10

=

7

120

，由此可知P(η≥7)=1-P1=

113

120

．

解答：解：（1）P=

C 1 2 C 1 3 + C 1 2 C 1 4 + C 1 3 C 1 4 + C 1 2 C 1 3 C 1 4

C 3 10

=

5

12

（4分）
（2）ξ的可能取的所有制有2，3，4（5分）
P(ξ=2)=

1

C 3 10

=

1

120

P(ξ=3)=

C 1 3 • C 2 3 + C 2 3 • C 1 3 + C 3 3

C 3 10

=

19

120

P(ξ=4)=

C 1 4 • C 2 6 + C 2 4 • C 1 6 + C 3 4

C 3 10

=

100

120

（8分）
∴ξ的分布列为

∴Eξ=2×

1

120

+3×

19

120

+4×

100

120

=

153

40

（10分）
（3）当η≤6时，取出的3张卡片上的数字为1，2，2或1，2，3
当取出的卡片上的数字为1，2，2或1，2，3的概率为P1=

1+ C 1 2 C 1 3

C 3 10

=

7

120

∴P(η≥7)=1-P1=

113

120

（14分）

点评：本题考查概率分布列的基本知识，解题时要认真审题，仔细解答．