Question

12．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的宣传费x_i和年销售量y_i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．

$\bar x$	$\bar y$	$\bar w$	$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{{{（{w_i}-\overline w）}^2}}$	$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$	$\sum_{i=1}^8{（{w_i}-\overline w）（{y_i}-\overline y）}$
46.6	563	6.8	289.8	1.6	1469	108.8

表中${w_i}=\sqrt{x_i}$，$\bar w$=$\frac{1}{8}$$\sum_{i=1}^8{w_i}$
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（ II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{u_i}-\overline u）（{v_i}-\bar v）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\overline u）}^2}}}}$，$\hat α=\overline v-\hat β\overline u$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据散点图，即可判断出，
（Ⅱ）先建立中间量w=

x

，建立y关于w的线性回归方程，根据公式求出w，问题得以解决；
（Ⅲ）（i）年宣传费x=49时，代入到回归方程，计算即可，
（ii）求出预报值得方程，根据函数的性质，即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由散点图可以判断，y=c+d$\sqrt{x}$适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；
（Ⅱ）令w=$\sqrt{x}$，先建立y关于w的线性回归方程，由于$\stackrel{∧}{d}$=$\frac{108.6}{1.6}$=68，
$\stackrel{∧}{c}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{d}$w=563-68×6.8=100.6，
所以y关于w的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68w，
因此y关于x的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{x}$，
（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）知，当x=49时，年销售量y的预报值$\stackrel{∧}{y}$=100.6+68$\sqrt{49}$=576.6，
年利润z的预报值$\stackrel{∧}{z}$=576.6×0.2-49=66.32，
（ii）根据（Ⅱ）的结果可知，年利润z的预报值$\stackrel{∧}{z}$=0.2（100.6+68$\sqrt{x}$）-x=-x+13.6$\sqrt{x}$+20.12，
当$\sqrt{x}$=6.8时，年利润的预报值最大．

点评 本题主要考查了线性回归方程和散点图的问题，准确的计算是本题的关键，属于中档题