题目内容
如图，在三棱锥
中，
，
，D为AC的中点，
.
（1）求证：平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
（1）证明过程详见解析；（2）
.
解析试题分析：本题主要以三棱锥为几何背景考查线线垂直、平行的判定，线面垂直，面面垂直的判定以及用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和计算能力.第一问，根据已知条件，取
中点
，连结
，得出
，再利用，根据线面垂直的判定证出
平面
，从而得到垂直平面内的线
，再利用为中位线，得出
平面
，最后利用面面垂直的判定证明平面垂直平面；第二问，由第一问知
两两互相垂直，所以建立空间直角坐标系，得出点
，以及
坐标，利用已知先求出平面
与平面
的法向量，再利用夹角公式求出夹角的余弦值.
试题解析：（Ⅰ）取中点为，连结，
．
因为
，所以
．
又，
，所以平面，
因为
平面，所以
． 3分
由已知，
，又
，所以
，
因为
，所以平面．
又平面，所以平面⊥平面． 5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，，两两互相垂直．
以为坐标原点，
的方向为
轴的方向，
为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
．
由题设知
，
，
，
．
则
，
，
．
设
是平面的法向量，则
即
，可取
． 9分
同理可取平面的法向量
．
故
． 11分
所以二面角的余弦值为． 12分
考点：1.线面垂直的判
练习册系列答案
相关题目
中，底面
是边长为
的正方形，
，
，且
．
平面
的余弦值；
上是否存在一点
，使直线
与平面
所成的角是
？若存在，求
的长；若不存在，请说明理由．
中，
平面
，
.
；
分别为
的中点，点
为△
内一点，且满足
，
∥面
；
，
，求二面角
的余弦值．
的直角边
，沿其中位线
将平面
折起，使平面
，得到四棱锥
，设
、
、
、
的中点分别为
、
、
、
.
平面
；
所成的角.
的底面是正方形，
⊥平面
，
；
的大小.
中，底面四边形
是菱形，
,
是边长为2的等边三角形，
,
.
底面
与平面
所成角的大小；
上是否存在一点
，使得
∥平面
？如果存在，求
的值，如果不存在，请说明理由．
，点C为圆O上一点，且
．点P在圆O所在平面上的正投影为点D，PD=DB．
平面
；
到平面
的距离．
中,
⊥面
,
为线段
上的点.
⊥面
; 
与
所成的角的正切值;
,求
的值.
中，
为线段
中点．
与直线
所成的角的余弦值；
,求二面角
的大小；
上是否存在一点
,使得
平面
？若存在，求
的长；若不存在,说明理由．