Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为A₁B₁、A₁D₁的中点，G、H分别为BC、B₁D₁的中点．
（1）指出直线GH与平面EFDB的位置关系，并加以证明；
（2）求异面直线GH与DF所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）连接EH，易知EH=BG且EH∥BG，从而得到四边形EHGB为平行四边形，根据线面平行的判定定理得到GH∥平面EFDB．
（2）先取BD中点M，连接MF，可得∠DFM为异面直线GH与DF所成的角，设正方体棱长为2，在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD，从而求出所求．

解答：解：（1）连接EH，易知EH=

1

2

A₁D₁=

1

2

BC=BG且EH∥A₁D₁∥AD∥BG，
所以四边形EHGB为平行四边形，所以GH∥BE，BE?平面EFDB
所以GH∥平面EFDB．
（2）取BD中点M，连接MF，易知FH=

1

2

A₁B₁=

1

2

CD=MG且FH∥A₁B₁∥CD∥MG，
所以四边形FHGM为平行四边形，所以GH∥FM
所以∠DFM为异面直线GH与DF所成的角，
设正方体棱长为2，
可得，MF=

5

，DF=

5

，MD=

2

，
在三角形MDF中，由余弦定理可得cos∠MFD=

4

5

，
∴异面直线GH与DF所成的角的大小为arccos

4

5

．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，以及异面直线所成角，同时考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于中档题．