Question

设0＜a＜b＜1，且a+b=1，给出下列结论：
①log₂（b-a）＜0②log₂a+log₂b＞-2③log₂a＞1④log2(

b

a

+

a

b

)＜1
其中正确结论的个数是（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据b-a的范围，以及对数的运算性质可判定①的真假，根据对数的运算性质进行化简，然后根据基本不等式求出ab的取值范围，从而可判定②的真假，根据a的范围可判定③的真假，根据基本不等式可求出

b

a

+

a

b

的取值范围，从而可判定④的真假．

解答：解：∵0＜a＜b＜1，∴0＜b-a＜1，log₂（b-a）＜log₂1=0，故①正确；
∵0＜a＜b＜1，且a+b=1，∴a+b=1＞2

ab

即ab＜

1

4

，log₂a+log₂b=log₂ab＜log₂

1

4

=-2，故②不正确；
∵0＜a＜b＜1∴log₂a＜log₂1=0，故③不正确；
∵0＜a＜b＜1，且a+b=1∴

b

a

+

a

b

＞ 2则log2(

b

a

+

a

b

)＞log22=1，故④不正确．
故选A．

点评：本题主要考查了基本不等式，以及对数运算性质的综合应用，属于基础题．