题目内容

若数列{an}，满足an+1=
2an(0≤an＜
1
2
)
2an-1(
1
2
≤an＜1)
，且a1=
6
7
，则a2013的值为（　　）
分析：根据首项的值和递推公式依次求出a2、a3、a4的值，即求出数列的周期，根据周期性求出a2013的值．
解答：解：由题意知an+1=
2an     (0≤an＜
1
2
)
2an-1  (
1
2
≤an＜1)
，
∵a1=
6
7
，∴a2=2a1-1=
12
7
-1=
5
7
＞
1
2
，
同理可得a3=2a2-1=
3
7
＜
1
2
，a4=2a3=
6
7
，…，
则此数列的周期是3，
∴a2013=a3×671=
3
7
，
故选C．
点评：本题考查了数列的递推公式和周期性的应用，此题的递推公式看上去较难，只能逐一求值，知道出现相同的项即可，即求出数列的周期．
练习册系列答案
相关题目
精英家教网给出下列四个命题：
①已知函数y=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的图象如图所示，则?=
π
6
或
5
6
π；
②已知O、A、B、C是平面内不同的四点，且
OA
=α
OB
+β
OC
，则α+β=1是A、B、C三点共线的充要条件；
③若数列an恒满足
a
2
n+1
a
2
n
=p（p为正常数，n∈N*），则称数列an是“等方比数列”．根据此定义可以断定：若数列an是“等方比数列”，则它一定是等比数列；
④求解关于变量m、n的不定方程3n-2=2m-1（n，m∈N*），可以得到该方程中变量n的所有取值的表达式为n=
1
12
(4k+8)
（k∈N*）．
其中正确命题的序号是
 
．
（2013•普陀区二模）对于任意的n∈N*，若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质m”：
①
an+an+2
2
＜an+1；   ②存在实数M，使得an≤M成立．
（1）数列{an}、{bn}中，an=n、bn=2sin
nπ
6
（n=1，2，3，4，5），判断{an}、{bn}是否具有“性质m”；
（2）若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn，且c3=
1
4
，S3=
7
4
，证明：数列{Sn}具有“性质m”，并指出M的取值范围；
（3）若数列{dn}的通项公式dn=
t (3•2n-n)+1
2n
（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*）．
（2013•普陀区二模）对于任意的n∈N*，若数列{an}同时满足下列两个条件，则称数列{an}具有“性质m”：
①
an+an+2
2
＜an+1；          
②存在实数M，使得an≤M成立．
（1）数列{an}、{bn}中，an=n、bn=2sin
nπ
6
（n=1，2，3，4，5），判断{an}、{bn}是否具有“性质m”；
（2）若各项为正数的等比数列{cn}的前n项和为Sn，且c3=
1
4
，S3=
7
4
，求证：数列{Sn}具有“性质m”；
（3）数列{dn}的通项公式dn=
t (3•2n-n)+1
2n
（n∈N*）．对于任意n∈[3，100]且n∈N*，数列{dn}具有“性质m”，求实数t的取值范围．
给出下列四个命题：
①已知函数y=2sin（x+φ）（0＜φ＜π）的图象如图所示，则；
②已知O、A、B、C是平面内不同的四点，且，则α+β=1是A、B、C三点共线的充要条件；
③若数列an恒满足（p为正常数，n∈N*），则称数列an是“等方比数列”．根据此定义可以断定：若数列an是“等方比数列”，则它一定是等比数列；
④求解关于变量m、n的不定方程3n-2=2m-1（n，m∈N*），可以得到该方程中变量n的所有取值的表达式为
（k∈N*）．
其中正确命题的序号是    ．

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