Question

（2013•普陀区二模）对于任意的n∈N^*，若数列{a_n}同时满足下列两个条件，则称数列{a_n}具有“性质m”：
①

an+an+2

2

＜an+1；          
②存在实数M，使得a_n≤M成立．
（1）数列{a_n}、{b_n}中，a_n=n、bn=2sin

nπ

6

（n=1，2，3，4，5），判断{a_n}、{b_n}是否具有“性质m”；
（2）若各项为正数的等比数列{c_n}的前n项和为S_n，且c3=

1

4

，S3=

7

4

，求证：数列{S_n}具有“性质m”；
（3）数列{d_n}的通项公式dn=

t (3•2n-n)+1

2n

（n∈N^*）．对于任意n∈[3，100]且n∈N^*，数列{d_n}具有“性质m”，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在数列{a_n}中，令n=1可验证不满足条件①；在数列{b_n}中，按“性质m”的定义验证条件①②即可；
（2）将c3=

1

4

代入S₃=

c3

q2

+

c3

q

+c3=

7

4

可求得q，从而求得c_n，S_n，利用放缩法可验证数列{S_n}满足

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1及S_n＜2；
（3）写出d_n+1，d_n+2，数列{d_n}具有“性质m”，由条件①得d_n+d_n+2＜2d_n+1恒成立，代入后化简分离出t，转化为最值问题可得t的范围，在该范围下可判断数列{d_n}为递增数列，从而可知{d_n}最大项的值为d₁₀₀，由此知存在M满足条件②，从而得知t的范围；

解答：（1）解：在数列{a_n}中，取n=1，则

a1+a3

2

=2=a2，不满足条件①，
所以数列{a_n}不具有“m性质”；
在数列{b_n}中，b₁=1，b2=

3

，b₃=2，b4=

3

，b₅=1，
则b1+b3=3＜2

3

=2b2，b2+b4=2

3

＜4=2b3，b3+b5=3＜2

3

=2b4，所以满足条件①；
bn=2sin

nπ

6

≤2（n=1，2，3，4，5）满足条件②，
所以数列{b_n}具有“性质m”．
（2）证明：由于数列{c_n}是各项为正数的等比数列，则公比q＞0，
将c3=

1

4

代入S₃=

c3

q2

+

c3

q

+c3=

7

4

，得6q²-q-1=0，解得q=

1

2

或q=-

1

3

（舍去），
所以c₁=1，cn=

1

2n-1

，Sn=2-

1

2n-1

，
对于任意的n∈N^*，

Sn+Sn+2

2

=2-

1

2n

-

1

2n+2

＜2-

1

2n

=Sn+1，且S_n＜2，
所以数列{S_n}满足条件①和②，所以数列{S_n}具有“m性质”；
（3）由于d_n=3t-

tn-1

2n

，则dn+1=3t-

t(n+1)-1

2n+1

，dn+2=3t-

t(n+2)-1

2n+2

，
由于任意n∈[3，100]且n∈N^*，数列{d_n}具有“性质m”，所以d_n+d_n+2＜2d_n+1，
即

tn-1

2n

+

t(n+2)-1

2n+2

＞2×

t(n+1)-1

2n+1

，
化简得，t（n-2）＞1，即t＞

1

n-2

对于任意n∈[3，100]且n∈N^*恒成立，
所以t＞1①，
dn+1-dn=

tn-1

2n

-

t(n+1)-1

2n+1

=

t(n-1)-1

2n+1

，
由于n∈[3，100]及①，
所以d_n+1＞d_n，即n∈[3，100]时，数列{d_n}是单调递增数列，
所以{d_n}最大项的值为d100=3t-

100t-1

2100

，
满足条件②只需3t-

100t-1

2100

≤M即可，所以这样的M存在②，
所以t＞1即可．

点评：本题考查等差数列、等比数列的综合，考查学生综合运用所学知识分析问题解决新问题的能力，考查学生对题目的阅读理解能力，对能力要求较高．