Question

正三角形ABC，点M，N，P分别为AB，BC，AC中点，沿MN，MP，NP折起，使A，B，C三点重合后为Q，则折起后二面角Q-MN-P的余弦值为（　　）

• A．

  1

  3

• B．

  1

  2

• C．

  1

  4

• D．

  2

  3

Answer 1

分析：利用折起后的三棱锥是正四面体的性质、余弦定理及二面角的定义即可得出．

解答：解：如图所示：折起的三棱锥Q-MNP为正四面体．取MN的中点O，连接QO、OP，则OQ⊥MN，OP⊥MN，
∴∠POQ为二面角Q-MN-P的平面角．
不妨设MN=2，则PQ=2，OP=OQ=

3

．
在△OPQ中，由余弦定理可得：cos∠POQ=

( 3 )2+( 3 )2-22

2× 3 × 3

=

1

3

．
∴折起后二面角Q-MN-P的余弦值为

1

3

．
故选A．

点评：熟练掌握正四面体的性质、余弦定理及二面角的定义是解题的关键．