题目内容

正三角形ABC，点M，N，P分别为AB，BC，AC中点，沿MN，MP，NP折起，使A，B，C三点重合后为Q，则折起后二面角Q-MN-P的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】分析：利用折起后的三棱锥是正四面体的性质、余弦定理及二面角的定义即可得出．
解答：解：如图所示：折起的三棱锥Q-MNP为正四面体．取MN的中点O，连接QO、OP，则OQ⊥MN，OP⊥MN，
∴∠POQ为二面角Q-MN-P的平面角．
不妨设MN=2，则PQ=2，OP=OQ=．
在△OPQ中，由余弦定理可得：cos∠POQ==．
∴折起后二面角Q-MN-P的余弦值为．
故选A．
点评：熟练掌握正四面体的性质、余弦定理及二面角的定义是解题的关键．
练习册系列答案
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精英家教网已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是边长为2的菱形，且∠A1AB=60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC．
①求证：BM⊥平面ABC；
②求点M到平面BB1C1C的距离．
某同学使用类比推理得到如下结论：
（1）同一平面内，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b，类比出：空间中，三条不同的直线a，b，c，若a⊥c，b⊥c，则a∥b；
（2）a，b∈R，a-b＞0则a＞b，类比出：a，b∈C，a-b＞0则a＞b；
（3）以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程是x2+y2=r2，类比出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程是x2+y2+z2=r2；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中点，O是△ABC外接圆的圆心，则
AO
OM
=2，类比出：在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则
AO
OM
=3．
其中类比的结论正确的个数是（　　）
正三角形ABC，点M，N，P分别为AB，BC，AC中点，沿MN，MP，NP折起，使A，B，C三点重合后为Q，则折起后二面角Q-MN-P的余弦值为（　　）

已知△ABC是边长为1的正三角形．动点M满足＝λ＋μ，且λ2＋μ2＝1．

(1)求||最大值，并指出此时||与，的夹角；

(2)是否存在两定点F1、F2，使．||＋||恒为常数k？若存在，指出常数k的值；若不存在，请说明理由．

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