题目内容
设函数f（x）=﹣
x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）求函数的单调区间与极值；
（Ⅱ）已知函数g（x）=f（x）+
有三个互不相同的零点，求m的取值范围．
解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣
x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），
∴f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1．
令f′（x）=0，解得x=1﹣m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1﹣m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
f（x）在x=1﹣m处取极小值
f（1﹣m）=﹣
=﹣
．
f（x）在x=1+m处取极大值
f（1+m）=﹣
=
．
（Ⅱ）∵f（x）=﹣
x3+x2+（m2﹣1）x，
∴g（x）=f（x）+
=﹣
x3+x2+（m2﹣1）x+
，
由（Ⅰ）知：g（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，
在（1﹣m，1+m）内是增函数．
在x=1﹣m处取极小值
，x=1+m处取极大值
，
∵函数g（x）=f（x）+
有三个互不相同的零点，且m＞0，
∴
，解得
．
x3+x2+（m2﹣1）x，（x∈R），∴f′（x）=﹣x2+2x+m2﹣1．
令f′（x）=0，解得x=1﹣m，或x=1+m．
因为m＞0，所以1+m＞1﹣m．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
f（x）在x=1﹣m处取极小值
f（1﹣m）=﹣
=﹣．f（x）在x=1+m处取极大值
f（1+m）=﹣
=．（Ⅱ）∵f（x）=﹣
x3+x2+（m2﹣1）x，∴g（x）=f（x）+
=﹣x3+x2+（m2﹣1）x+，由（Ⅰ）知：g（x）在（﹣∞，1﹣m），（1+m，+∞）内是减函数，
在（1﹣m，1+m）内是增函数．
在x=1﹣m处取极小值
，x=1+m处取极大值，∵函数g（x）=f（x）+
有三个互不相同的零点，且m＞0，∴
，解得．
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
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C、[-
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D、[-
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