Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，若a₁=1，a₂=3，a_n+2=2a_n+1-a_n+2（n=1，2，…），则S_n=

n(n-1)(n+1)

3

+n

．

Answer 1

分析：由a_n+2=2a_n+1-a_n+2（n=1，2，…），变形为a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，令b_n=a_n+1-a_n，则b_n+1=b_n+2，利用等差数列的通项公式即可得出b_n．可得a_n+1-a_n=2n，利用“累加求和”公式a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁即可得出a_n．进而利用12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

及其等差数列的前n项和公式即可得出S_n．

解答：解：∵a_n+2=2a_n+1-a_n+2（n=1，2，…），∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
令b_n=a_n+1-a_n，则b_n+1=b_n+2，
∴数列{b_n}是以b₁=a₂-a₁=3-1=2为首项，2为公差的等差数列．
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
∴a_n+1-a_n=2n，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+1
=2×

n(n-1)

2

+1
=n²-n+1．
∴S_n=（1²+2²+…+n²）-（1+2+…+n）+n
=

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

+n
=

n(n-1)(n+1)

3

+n．
故答案为

n(n-1)(n+1)

3

+n．

点评：正确变形转化为等差数列、“累加求和”公式及其利用12+22+…+n2=

n(n+1)(2n+1)

6

、等差数列的前n项和公式等是解题的关键．