Question

正方体ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E在AB₁上，F在BD上，且B₁E＝BF，求证：EF∥平面BB₁C₁C．

Answer 1

答案：
解析：

证法一：如图所示，连结AF并延长交BC于M，连结B1M． 　　∵AD∥BC，∴△AFD∽△MFB．∴． 　　又∵BD＝B1A，B1E＝BF，∴DF＝AE． 　　∴． 　　∴EF∥B1M，B1M平面BB1C1C． 　　∴EF∥平面BB1C1C． 　　证法二：作FH∥AD交AB于H，连结HE，∵AD∥BC，∴FH∥BC，BC平面BB1C1C． 　　∴FH∥平面BB1C1C． 　　由FH∥AD，可得．又BF＝B1E，BD＝AB1，∴． 　　∴EH∥B1B，B1B平面BB1C1C． 　　∴EH∥平面BB1C1C，EH∩FH＝H． 　　∴平面FHE∥平面BB1C1C，EF平面FHE，∴EF∥平面BB1C1C．