Question

1-100C

1 10

+100² C

2 10

-100³ C

3 10

+…（-1）^k100^k C

k 10

+…+100¹⁰ C

10 10

除以97的余数是

54

．

Answer 1

分析：所给的式子即  （1-100）¹⁰=（97+2）¹⁰=

C

0 10

•9710•20+

C

1 10

•979•21+…+

C

9 10

•971•29+

C

10 10

•970•210．故展开式中最后一项除以97的余数，即为所求

解答：解：由于1-100C

1 10

+100² C

2 10

-100³ C

3 10

+…（-1）^k100^k C

k 10

+…+100¹⁰=（1-100）¹⁰=（97+2）¹⁰ 
=

C

0 10

•9710•20+

C

1 10

•979•21+…+

C

9 10

•971•29+

C

10 10

•970•210．
显然，展开式中，除了最后一项外，其余的各项都能被97整除，故展开式中最后一项除以97的余数，即为所求．
而展开式中最后一项为1024，它除以97的余数为54，
故答案为 54．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，体现额转化的数学思想，属于中档题．