Question

已知直线y=-2x-

2

3

与曲线f(x)=

1

3

x3-bx相切．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=x²+m在（0，+∞）上有两个解x₁，x₂，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先求出导函数f'（x），设出切点（x₀，y₀），然后根据在x=x₀的导数等于切线的斜率，切点在切线和函数f（x）的图象上，建立方程组，解之即可求出b的值；
（II）构造函数h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m，利用导数研究函数h（x）的单调性，转化成使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，建立关系式，解之即可求出m的范围．

解答：解：（I）∵f(x)=

1

3

x3-bx，∴f'（x）=x²-b，
设切点为（x₀，y₀），依题意得∴

1 3 x 3 0 -bx0=y0 y0=-2x0- 2 3 x 2 0 -b=-2

解得：b=3
（II）设h(x)=f(x)-x2-m=

1

3

x3-x2-3x-m
h′（x）=x²-2x-3=（x+1）（x-3），
令h′（x）=0，得x=-1或x=3
在（0，3）上，h′（x）＜0，故h（x）在（0，3）上单调递减，
在（3，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（3，+∞）上是单调递增，
若使h（x）图象在（0，+∞）内与x轴有两个不同的交点，
则需

h(0)=-m＞0 h(3)=-9-m＜0

∴-9＜m＜0．
此时存在x＞3时，h（x）＞0，
例如x=5时，h=

125

3

-25=15-m=

5

3

-m＞0.
∴所求m的范围是-9＜m＜0．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数与方程的综合运用等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于基础题．