Question

【题目】已知椭圆的左右顶点分别是，，点在椭圆上，过该椭圆上任意一点P作轴，垂足为Q，点C在的延长线上，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）求动点C的轨迹E的方程；

（3）设直线（C点不同A、B）与直线交于R，D为线段的中点，证明：直线与曲线E相切；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）证明略；

【解析】

（1）根据顶点坐标可知，将代入椭圆方程可求得，进而得到椭圆方程；（2）设，，可得到，将代入椭圆方程即可得到所求的轨迹方程；（3）设，可得直线方程，进而求得和点坐标；利用向量坐标运算可求得，从而证得结论.

（1）由题意可知：

将代入椭圆方程可得：，解得：

椭圆的方程为：

（2）设，

由轴，可得：，即

将代入椭圆方程得：

动点的轨迹的方程为：

（3）设，则直线方程为：

令，解得：

，

即

直线与曲线相切