题目内容

19．已知在直角坐标系xOy中，圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），定点$A（{0，-\sqrt{3}}）$，F1，F2是圆锥曲线C的左、右焦点．
（1）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求经过点F1且平行于直线AF2的直线l的极坐标方程；
（2）设（1）中直线l与圆锥曲线C交于M，N两点，求$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$．

分析 （1）将曲线的参数方程化为普通方程，由椭圆的标准方程确定相关点的坐标，再由点斜式写出直线l的直角坐标方程，最后转化为极坐标方程即可
（2）将直线方程与椭圆标准方程联立，利用韦达定理和能求出$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$．

解答 解：（1）∵圆锥曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=\sqrt{3}sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），
∴普通方程为C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，∴A（0，-$\sqrt{3}$），F2（1，0），F1（-1，0）
∴kAF2=$\sqrt{3}$，l：y=$\sqrt{3}$（x+1）
∴直线l极坐标方程为：ρsinθ=$\sqrt{3}$ρcosθ+$\sqrt{3}$，
即2ρsin（θ-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$．
（2）（2将直线y=$\sqrt{3}$（x+1）代入椭圆标准方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，得5x2+8x=0，
设M（x1，y1，N（x2，y2，则x1+x2=-$\frac{8}{5}$，x1x2=0，
$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=（x1+1，y1），$\overrightarrow{{F}_{2}M}$=（x2+1，y2），
∴$\overrightarrow{{F}_{1}M}•\overrightarrow{{F}_{1}N}$=（1+$\sqrt{3}$）（x1+1）（x2+1）=（1+$\sqrt{3}$）[x1x2+（x1+x2）+1]
=（1+$\sqrt{3}$）]（1-$\frac{8}{5}$）
=-$\frac{3}{5}$-$\frac{3\sqrt{3}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的参数方程，标准方程及其互化，直线的直角坐标方程及与其极坐标方程的互化，直线与椭圆的位置关系，求相交弦长的方法．

练习册系列答案
相关题目
4．用0，1，2，3，4，5六个数字排成没有重复数字的6位数，分别满足下列条件的数有多少个？
（1）0不在个位；
（2）1与2相邻；
（3）1与2不相邻；
（4）0与1之间恰有两个数；
（5）1不在个位；
（6）偶数数字从左向右从小到大排列．
10．下列集合中与集合{x|x=2k+1，k∈N+}不相等的是（　　）
A．{x|x=2k-1，k∈N+}B．{x|x=4k±1，k∈N+}
C．{x|x=2k-1，k∈N且k＞1}D．{x|x=2k+3，k∈N}
7．已知A（-1，1）、B（x-1，2x），若向量$\overrightarrow{OA}$与$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点）的夹角为锐角，则实数x的取值范围是（　　）
A．（-1，$\frac{1}{3}$）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）B．（-1，+∞）C．（-1，3）∪（3，+∞）D．（-∞，-1）
14．若△ABC的面积S△ABC∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=3，则向量$\overrightarrow{BA}$与$\overrightarrow{BC}$夹角的取值范围是（　　）
A．[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$]B．[$\frac{3π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]C．[$\frac{2π}{3}$，π）D．[$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]
4．给出下列命题：
①命题“?x∈k，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”
②函数$f（x）=\frac{{{a^x}-1}}{{{a^x}+1}}（a＞0$且a≠1）在R上是单调函数
③设f（x）是R上的任意函数，则f（x）|f（-x）|是奇函数，f（x）+f（-x）是偶函数
④定义在R上的函数f（x）对任意x的都有$f（x-2）=-\frac{4}{f（x）}$，则f（x）为周期函数
其中真命题的是①②④（把所有真命题的序号都填上）
11．（理）已知数列{an}、{bn}的通项公式分布为an=（-1）n-1a-1，bn=（-1）n$\frac{1-2n}{2n+1}$，切对于一切的正整数n，恒有an＜bn成立，则实数a的取值范围是$[0，\frac{4}{3}）$．
8．已知f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，若f（0）=1，则f（2016）的值为  （　　）
A．0B．1C．2015D．2016
9．如图1，∠ACB=45°，BC=3，过动点A作AD⊥BC，垂足D在线段BC上且异于点B，连接AB，沿AD将△ABD折起，使∠BDC=90°（如图2所示）．记 BD=x，V（x）为三棱锥A-BCD的体积．

（1）求V（x）的表达式；
（2）设函数$f（x）=\frac{3}{x}V（x）+2x$，当x为何值时，f（x）取得最小值，并求出该最小值；
（3）当f（x）取得最小值时，设点E，M分别为棱BC，AC的中点，试在棱CD上确定一点N，使得EN⊥BM，并求EN与平面BMN所成角的大小．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网