题目内容
（本小题满分15分）
已知椭圆
：
（
）的离心率为
，直线
与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左焦点为
，右焦点为
，直线
过点且垂直于椭圆的长轴，动直线
垂直于点
，线段
的垂直平分线交
于点
.
（i）求点的轨迹
的方程；
（ii）若
为点的轨迹
的过点的两条相互垂直的弦，求四边形
面积的最小值．
【答案】
解：
（1）∵
，∴
＝
＝
＝
，∴
.
（2分）
∵直线
与圆
相切，∴
，
，∴
.
∴椭圆
的方程是
.
（2分）
（2）（i）∵
∴动点
到定直线
的距离等于它到定点
的距离，
∴动点的轨迹
是以
为准线，
为焦点的抛物线．
∴点的轨迹的方程为：
.
（4分）
（ii）由题意可知：直线
的斜率存在且不为零，
（1分）
令：
，
则：
由韦达定理知：
由抛物线定义知：
（2分）
而：
同样可得：
（2分）
则：
（当且仅当
时取“
”号）
所以四边形
面积的最小值是：8
（2分）
【解析】略
练习册系列答案
相关题目
的单调区间；
，试分别解答以下两小题.
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
是两个不相等的正数，且
，求证：
．
、
分别为椭圆
：
的 
：
的焦点，
是
。
：
，过点P的动直线
与圆
，
（
且
）。求证：点Q总在某定直线上。
的左、右焦点分别为
、
，过
与椭圆相交于A、B两点。
，且
，求椭圆的离心率；
求
的最大值和最小值。
在定义域内存在区间
，满足
是否为“优美函数”？若是，求出
；若不是，说明理由；
为“优美函数”，求实数
的取值范围．