题目内容
（本小题满分15分）
已知函数
（Ⅰ）求函数
的单调区间；
（Ⅱ）若
，试分别解答以下两小题.
（ⅰ）若不等式
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
（ⅱ）若
是两个不相等的正数，且
，求证：
．
【答案】
（Ⅰ）当
时，增区间是
；当
时，增区间是
，递减区间是
（Ⅱ）（ⅰ）
（ⅱ）
设
，则t>0，
，
,令
，得
，
在（0，1）单调递减，在
单调递增
，
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）f(x)的定义域为， 
，………………1分
令
，
，
①当时，
在恒成立，
f(x)递增区间是；………3分
②当时，
,又x>0, 
递增区间是，递减区间是.
………………………5分
（Ⅱ）（ⅰ）
设
,
化简得：
,
………………7分
,
，
在
上恒成立，
在
上单调递减，
所以
，
,即
的取值范围是 .………………9分
（ⅱ）
，
在上单调递增,
,
……11分
设，则t>0，，,
令，得，在（0，1）单调递减，在单调递增,………13分
，.
………………………14分
考点：函数导数求单调区间求最值
点评：本题第一问中求单调区间需要对参数
分情况讨论从而确定导数
的正负；第二问中关于不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题
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、
分别为椭圆
：
的 
：
的焦点，
是
。
：
，过点P的动直线
与圆
，
（
且
）。求证：点Q总在某定直线上。
的左、右焦点分别为
、
，过
与椭圆相交于A、B两点。
，且
，求椭圆的离心率；
求
的最大值和最小值。
在定义域内存在区间
，满足
是否为“优美函数”？若是，求出
；若不是，说明理由；
为“优美函数”，求实数
的取值范围．