Question

求下列函数的值域：

    (1)

    (2)。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)解法一  不等式，f(x)≤1即     由此得1≤1＋αx，即αx≥0，其中常数α＞0。     所以，原不等式等价于 即     所以，当0＜α＜1时，所给不等式的解集为     当α≥1时,所给不等式的解集为{x|x≥0}。     解法二  f(x)≤1即≤αx＋1，原不等式等价于     由①得x[(α2－1)x＋2α]≥0        ③     由②得x≥－                       ④     当α=1时，③的解为x≥O，能满足④。     当α＞1时。③的解为x≥O，或，     x≥0能使④成立，     =＜，     所以α＞1时，x＜不能使④成立。     当0＜α＜1时，③的解为0≤x≤，能使④成立。     综上，当0＜α＜1时，不等式的解集为     。     当α≥1时，不等式的解集为|x|x≥0}。     (2)解  在区间[0，＋∞)上任取x1，x2，使得x1＜x2，     f(x1)－f(x2)=－α(x1－x2)         =。 (i)当 ， 。     又x1－x2＜0，     ∴f(x1)－f(x2)＞0。     即，f(x1)＞f(x2)。     所以，当α≥1时，函数，f(x)在区间[0，＋∞)上是单调递减函数。     (ii)当0＜α＜1时，在区间[0，＋∞)上存在两点x1=2，x2=，满足，f(x1)=1，f(x2)=1，即f(x1)=f(x2)，所以函数，f(x)在区间[0，＋∞)上不是单调函数。     综上，当且仅当α≥1时，函数，f(x)在区间[0，＋∞]上是单调函数。