Question

 

已知抛物线的焦点为F，以点为圆心，|AF|为半径的圆在x轴的上方与抛物线交于M、N两点。

   （I）求证：点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上；

   （II）设点P为MN的中点，是否存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（I）因为该抛物线的焦点F的坐标为，故|FA|=4

所以，该圆的方程为

它与轴的上方交于

把中并化简得：

（1） （2） （3）

由（1）（2）（3）得

又由抛物线定义可得：

所以|FM|+|FN|=

而|MN|<|FM|+|FN|=8

又点F，M，N均在圆上，所以，|AN|=|AM|=|AF|=4

所以，|AM|+||AN=8，

因为，|AM|+|AN|=|FM|+|FN|=8，|MN|<8

所以，点A在以M、N为焦点，且过点F的椭圆上，  ………………8分

   （II）若存在满足条件的实数a，

则有

设点P的坐标为

由（2）（3）得

这与矛盾

故不存在这样的a，使得|FP|是|FM|与|FN|的等差中项  ………………13分