Question

 [2012·广东卷] 如图1－5所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．

(1)证明：PH⊥平面ABCD；

(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；

(3)证明：EF⊥平面PAB.

图1－5

Answer 1

解：(1)由于AB⊥平面PAD，PH⊂平面PAD，

故AB⊥PH.

又因为PH为△PAD中AD边上的高，

故AD⊥PH.

∵AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，

AD⊂平面ABCD，

∴PH⊥平面ABCD.

(2)由于PH⊥平面ABCD，E为PB的中点，PH＝1，故E到平面ABCD的距离h＝PH＝.

又因为AB∥CD，AB⊥AD，所以AD⊥CD，

故S_△BCF＝·FC·AD＝·1·＝.

因此V_E－BCF＝S_△BCF·h＝··＝.

(3)证明：过E作EG∥AB交PA于G，连接DG.

由于E为PB的中点，所以G为PA的中点．

因为DA＝DP，故△DPA为等腰三角形，

所以DG⊥PA.

∵AB⊥平面PAD，DG⊂平面PAD，

∴AB⊥DG.

又∵AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，

∴DG⊥平面PAB.

又∵GE綊AB，DF綊AB，

∴GE綊DF.

所以四边形DFEG为平行四边形，故DG∥EF.

于是EF⊥平面PAB.