Question

已知函数f（x）=

m

•

n

，其中

m

=(sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=(cosωx-sinωx，2sinωx)（ω＞0），若f（x）图象中相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若函数g（x）=f（x）-a在区间[-

π

6

，

π

4

]上恰有两个零点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用两角和正弦公式化简函数f（x）的解析式，根据周期求出w=1，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，求出
x的范围，即为函数f（x）的增区间．
（2）由题意可得2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，解可得答案．

解答：解：（1）∵f(x)=

m

•

n

=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)，
f（x）图象中相邻对称轴间的距离为

π

2

，∴T=π，∴w=1．
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)，由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，可得  kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函数f（x）的增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]k∈Z．
（2）∵g(x)=2sin(2x+

π

6

)-a在x∈[-

π

6

，

π

4

]上恰有两个零点，
且2x+

π

6

∈[-

π

6

，

2π

3

]，可知：a的取值范围是：[

3

，2)．

点评：本题考查两角和正弦公式，正弦函数的单调性，周期性，函数的零点的定义，求出函数f（x）的解析式，是解题的关键．