Question

14．已知向量$\overrightarrow{a}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$），$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-m|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+1，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，m∈R．
（1）当m=0时，求f（$\frac{π}{6}$）的值；
（2）若f（x）的最小值为-1，求实数m的值；
（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）+$\frac{24}{49}$m²，x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用向量数量积的公式化简函数f（x）即可．
（2）求出函数f（x）的表达式，利用换元法结合一元二次函数的最值性质进行讨论求解即可．
（3）由g（x）=0得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解即可．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（cos$\frac{3x}{2}$，sin$\frac{3x}{2}$）•（cos$\frac{x}{2}$，-sin$\frac{x}{2}$）=cos$\frac{3x}{2}$cos$\frac{x}{2}$-sin$\frac{3x}{2}$sin$\frac{x}{2}$=cos（$\frac{3x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=cos2x，
当m=0时，f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+1=cos2x+1，
则f（$\frac{π}{6}$）=cos（2×$\frac{π}{6}$）+1=cos$\frac{π}{3}$+1=$\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}$；
（2）∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]，
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2+2cos2x}$=$\sqrt{4co{s}^{2}x}$=2cosx，
则f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-m|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|+1=cos2x-2mcosx+1=2cos²x-2mcosx，
令t=cosx，则$\frac{1}{2}$≤t≤1，
则y=2t²-2mt，对称轴t=$\frac{m}{2}$，
①当$\frac{m}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即m＜1时，
当t=$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值此时最小值y=$\frac{1}{2}$-m=-1，得m=$\frac{3}{2}$（舍），
②当$\frac{1}{2}$≤$\frac{m}{2}$≤1，即m＜1时，
当t=$\frac{m}{2}$时，函数取得最小值此时最小值y=-$\frac{{m}^{2}}{2}$=-1，得m=$\sqrt{2}$，
③当$\frac{m}{2}$＞1，即m＞2时，
当t=1时，函数取得最小值此时最小值y=2-2m=-1，得m=$\frac{3}{2}$（舍），
综上若f（x）的最小值为-1，则实数m=$\sqrt{2}$．
（3）令g（x）=2cos²x-2mcosx+$\frac{24}{49}$m²=0，得cosx=$\frac{3m}{7}$或$\frac{4m}{7}$，
∴方程cosx=$\frac{3m}{7}$或$\frac{4m}{7}$在x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{4}$]上有四个不同的实根，
则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{3m}{7}＜1}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{4m}{7}＜1}\\{\frac{3m}{7}≠\frac{4m}{7}}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{7\sqrt{2}}{6}≤m＜\frac{7}{3}}\\{\frac{7\sqrt{2}}{8}≤m＜\frac{7}{4}}\\{m≠0}\end{array}\right.$，则$\frac{7\sqrt{2}}{6}$≤m＜$\frac{7}{4}$，
即实数m的取值范围是$\frac{7\sqrt{2}}{6}$≤m＜$\frac{7}{4}$．

点评 本题主要考三角函数的性质，函数的零点以及复合函数的应用，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．