Question

已知点M（2，1）和双曲线x²-=1,求以M为中点的双曲线右支的弦AB所在的直线l的方程.

Answer 1

解析：这是直线和圆锥曲线的综合应用题,首先可以设出直线的参数方程x=2+tcosα,y=1+tsinα(t为参数),代入双曲线的方程得到关于t的二次方程,设方程的两根分别为t₁、t₂,若M为弦AB中点,则有t₁+t₂=0,可得α的方程,从而得到直线的斜率即可得直线的方程.

解：设直线l的参数方程是(t为参数),代入双曲线的方程可得关于t的二次方程(2+tcosα)²-=1,

即(2cos²α-sin²α)t²+(8cosα+2sinα)t+5=0,

并设弦的两个端点A、B对应的参数分别为t₁、t₂.

由于M是中点,所以t₁+t₂=0,

即=0.

所以tanα=-4,即直线的斜率是-4.

所以直线l的方程是y-1=-4(x-2),即4x+y-9=0.