Question

已知点E（2，1）和圆O：x²+y²=16．
（Ⅰ）过点E的直线l被圆O所截得的弦长为2

15

，求直线l的方程；
（Ⅱ）若△OEM的面积S_△OEM=2，且M是圆O内部第一、二象限的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），求出点M的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分直线的斜率存在和不存在分析，斜率不存在时直接求解弦长，斜率存在时设出直线方程，由圆的半径，弦长求出弦心距，再由点到直线的距离公式求斜率；
（Ⅱ）分M在过E与x轴垂直的直线上和不垂直的直线上讨论，直线垂直于x轴时易求得M的坐标，当斜率存在时设出M的坐标，由两点式写出过M，E的直线方程，求出O到ME的距离及ME的距离，代入面积公式得到M的横纵坐标的关系，在根据M在圆内求得M的坐标．

解答：解：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=2，
代入x²+y²=16，解得y=±2

3

，
直线被圆截得的弦长为4

3

，不满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y-1=k（x-2），
即kx-y-2k+1=0．
∵圆O：x²+y²=16的半径等于4，直线l被圆O所截得的弦长为2

15

，
∴圆心O到直线l的距离为d=

42-( 15 )2

=1．
由点到直线的距离公式得：

|-2k+1|

k2+1

=1，
解得：k=0或k=

4

3

．
分别把k代入kx-y-2k+1=0，
得直线方程为：y=1或4x-3y-5=0；
（Ⅱ）当M在过E点，且垂直于x轴的直线上时，O到ME所在直线的距离为2，要使△OEM的面积等于2，
则|ME|=2，
∴M（2，3）满足条件；
当M在过E点且斜率存在的直线上时，
设M（x₀，y₀）．
过M、E的直线方程为：

y-1

y0-1

=

x-2

x0-2

，
整理得：（y₀-1）x-（x₀-2）y+（x₀-2）-2（y₀-1）=0．
|ME|=

(x0-2)2+(y0-1)2

，O到ME所在直线的距离d=

|x0-2y0|

(x0-2)2+(y0-1)2

．
由S△OME=

1

2

•

(x0-2)2+(y0-1)2

•

|x0-2y0|

(x0-2)2+(y0-1)2

=

1

2

|x0-2y0|=2，得|x₀-2y₀|=4．
∴y0=

x0

2

±2．
要使M（x₀，y₀）表示整点，则x₀=±2．
当x₀=2时，两点式方程不成立．
故当x₀=-2时，y₀=1符合题意．
综上，符合条件的M的坐标为：（-2，1），（2，3）．

点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生的计算能力，是中高档题．