Question

已知函数f（x）=x-sinx，数列{a_n}满足：0＜a₁＜1，a_n+1=f（a_n），n=1，2，3，…．
证明：（I）0＜a_n+1＜a_n＜1；
（II）an+1＜

1

6

an3．

Answer 1

证明：（I）先用数学归纳法证明0＜a_n＜1，n=1，2，3，
（i）当n=1时，由已知显然结论成立．
（ii）假设当n=k时结论成立，即0＜a_k＜1．
因为0＜x＜1时f′（x）=1-cosx＞0，
所以f（x）在（0，1）上是增函数．又f（x）在[0，1]上连续，
从而f（0）＜f（a_k）＜f（1），即0＜a_k+1＜1-sin1＜1．
故n=k+1时，结论成立．
由（ i）、（ii）可知，0＜a_n＜1对一切正整数都成立．
又因为0＜a_n＜1时，a_n+1-a_n=a_n-sina_n-a_n=-sina_n＜0，
所以a_n+1＜a_n，
综上所述0＜a_n+1＜a_n＜1．
（II）设函数g（x）=sinx-x+

1

6

x3，0＜x＜1．由（I）知，
当0＜x＜1时，sinx＜x，
从而g′（x）=cosx-1+

x2

2

=-2sin2

x

2

+

x2

2

＞-2(

x

2

)2+

x2

2

=0．
所以g（x）在（0，1）上是增函数．
又g（x）在[0，1]上连续，且g（0）=0，
所以当0＜x＜1时，g（x）＞0成立．
于是g（a_n）＞0，即sina_n-a_n+

1

6

an³＞0．
故a_n+1＜

1

6

an³．